Du binaire au décimal

Les exercices de cette feuille sont à traiter sans machine. Il s'agit de maîtriser la signification d'une écriture binaire.

Du binaire au décimal.

  1. Donner l'écriture décimale de l'entier a = 101010binaire.
  2. Donner l'écriture décimale de l'entier b = 100binaire.
  3. Quels sont les entiers qui s'écrivent en base 2 sous la forme d'un 1 suivi uniquement de chiffres 0 ?

  1. a = 101010deux = 0⨯20 + 1⨯21 + 0⨯22 + 1⨯23 + 0⨯24 + 1⨯25 d'où a=42.
  2. b = 100deux= 0⨯20 + 0⨯21 + 1⨯22. On a donc b = 4.
  3. Ce sont les puissances de 2.

Généralisation du principe.

Le principe d'écriture en base 2 ou en base 10 s'étend à d'autres entiers.

On peut par exemple écrire un entier en base 3.

Pour cela, on utilisera 3 chiffres : 0, 1, 2.

Exemple : 1021base trois = \( 1\times 3^3 + 0\times 3^2 + 2\times 3^1 + 1 \times 3^0\).
Soit 1021base trois = 34décimal.

  1. Donner l'écriture décimale de l'entier a = 201012base trois.
  2. Donner l'écriture décimale de l'entier b = 100base trois.
  3. Quels sont les entiers qui s'écrivent en base trois sous la forme d'un 1 suivi uniquement de chiffres 0?

  1. a = 201012base trois = 2⨯30 + 1⨯31 + 0⨯32 + 1⨯33 + 0⨯34 + 2⨯35 d'où a = 518.
  2. b = 100base trois= 0⨯30 + 0⨯31 + 1⨯32. On a donc b = 9.
  3. Ce sont les puissances de 3.

La base 16.

Lorsqu'on utilise une base supérieure à 10, les chiffres usuels ne sont plus assez nombreux.

La base 16 est par exemple beaucoup utilisée en informatique. De même que l'on parle d'écriture binaire pour l'écriture en base 2 et d'écriture décimale pour l'écriture en base 10, on parle d'écriture hexadécimale pour une écriture en base 16.

L'écriture hexadécimale nécessite 16 chiffres, on utilise en général les lettres a, b, c, d, e , f pour représenter les chiffres manquants.

Ainsi, on pourra écrire :

  • a hexadécimal = 10 décimal
  • b hexadécimal = 11 décimal
  • c hexadécimal = 12 décimal
  • d hexadécimal = 13 décimal
  • e hexadécimal = 14 décimal
  • f hexadécimal = 15 décimal
  • 2a3f hexadécimal = \( 2\times 16^3 + 10 \times 16^2 + 3 \times 16 + 15 \) = 10815décimal
  1. Donner l'écriture décimale de l'entier a = ffa3hexadécimal .
  2. Donner l'écriture décimale de l'entier b = 100hexadécimal .
  3. Quels sont les entiers qui s'écrivent en écriture hexadécimale sous la forme d'un 1 suivi uniquement de chiffres 0 ?

  1. a = ffa3hexadécimal = 3⨯160 + 10⨯161 + 15⨯162 + 15⨯163 d'où a = 65443décimal.
  2. b = 100hexadécimal= 0⨯160 + 0⨯161 + 1⨯162. On a donc b = 256décimal.
  3. Ce sont les puissances de 16.