Le plan est supposé muni d'un repère orthonormé
\( \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right) \).
On appelle image du point M, par la rotation de centre \( \Omega \) et d'angle \( \theta \),
le point N se trouvant sur le cercle de centre \( \Omega \) et de rayon \( \Omega M \) tel que l'angle orienté
\( \left( \overrightarrow{\Omega M} ; \overrightarrow{\Omega N}\right) \) soit de mesure \( \theta \).
Plaçons nous dans le cadre des connaissances de première : on suppose que \( \Omega = O \) est le centre
du repère et que le cercle est de rayon 1. Le cercle est donc le "cercle trigonométrique".
Dans cette situation, vous savez que les coordonnées de M sont de la forme
\( \left( \cos(\alpha) ; \sin(\alpha) \right) \) où \( \alpha \) est l'angle
\( \left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{OM} \right) \) entre
le premier vecteur de la base et le vecteur \( \overrightarrow{OM} \). C'est en effet ainsi que l'on définit
en seconde et en première cos et sin.
On obtient ensuite le point N "en tournant d'un angle \( \theta \) à partir de la position du point M".
Les coordonnées du point N sont donc
\( \left( \cos(\alpha + \theta) ; \sin(\alpha + \theta) \right) \).
On voit par ailleurs, en première S, les formules de trigonométrie suivante :
\[ \forall a\in\mathbb{R}\ \ \forall b\in\mathbb{R} \ \ \ \cos(a+b)= \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b) \text{ et }
\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a) \]
Les coordonnées du point N sont donc :
\[ \begin{cases}
x_N = \cos(\alpha)\cos(\theta) - \sin(\alpha) \sin(\theta) \\
y_N = \sin(\alpha)\cos(\theta) + \sin(\theta) \cos(\alpha)
\end{cases} \]
c'est à dire :
\[ \begin{cases}
x_N = x_M\cos(\theta) - y_M \sin(\theta) \\
y_N = y_M \cos(\theta) + x_M\sin(\theta)
\end{cases} \]
Il reste à tenir compte du rayon (homothétie) et du centre (translation) pour obtenir la formule
dans le cas général énoncé plus haut.
Illustration en SVG
On définit ci-dessous un triangle (avec l'instruction svg
polygon).
On définit ensuite l'image du triangle par la rotation de centre \( \Omega(70;70) \)
et d'angle \( \frac{\pi}{4}\) radians.
Attention, la rotation semble s'être faite dans le sens des aiguilles d'une montre contrairement à l'usage
en mathématiques : cela est du au fait que l'axe des ordonnées est orienté vers le bas.
En fait le sens de rotation positif usuel en mathématiques n'est pas choisi par rapport
au sens de rotation des aiguilles d'une montre : c'est le sens de rotation
de \( \overrightarrow{i} \), premier vecteur de la base, vers \( \overrightarrow{j} \), second vecteur de la base.
Ce qui devient le sens des aiguilles d'une montre avec le choix d'un vecteur
\( \overrightarrow{i} \) orienté de la gauche vers la droite
et d'un vecteur \( \overrightarrow{j} \) orienté du haut vers le bas.
Rotation SVG
On peut également utiliser les transformations prédéfinies en svg.
L'angle est indiqué en degrés.
Pour une rotation de \( \frac{\pi}{4} \) radians, on indiquera donc un angle de \( 45^{\circ} \).
On utilisera donc : rotate( angle en degrés, abscisse du centre, ordonnée du centre).
La syntaxe allégée rotate(angle en degrés) prend le point origine comme
centre de rotation.
Pour "tourner dans l'autre sens", on indiquera l'angle opposé :
Rotation et composition de transformations
On dispose d'un carré comme ci-dessous, centré sur l'origine :
On aimerait ensuite obtenir une figure telle que la suivante :
Sur cette figure, le carré vert est obtenu comme translaté du carré rouge par le vecteur \( \overrightarrow{u}(50,60) \).
On fait ensuite subir une rotation de ce carré vert autour du point \( \Omega( 50; 60 ) \).
Pour traduire cela, on utilisera le code ci-dessous.
Le point à remarquer est que le centre de rotation indiqué dans le code du carré bleu n'est pas le point \( \Omega \)
mais le point de coordonnées (0,0). Une façon de comprendre ceci est d'appliquer les transformations indiquées
de droite à gauche : on fait d'abord subir une rotation du carré rouge autour de l'origine, puis on translate le résultat.
On peut également traduire plus directement le descriptif initial comme suit.
Le centre est cette fois celui indiqué initialement, on a écrit les deux transformations
de droite à gauche.
On peut aussi ici traduire l'énoncé en procédant comme suit :
Le carré rouge est identifié avec un attribut id.
Le carré vert est défini comme translaté du carré rouge et lui-même identifié.
Le carré bleu est alors défini à partir du carré vert, sans référence directe au carré rouge.
Ce qui évite la composition directe de deux transformations.
