Le problème

On dispose de données numériques dont les valeurs varient dans un intervalle [m;M].

Par ailleurs on dispose d'une fenêtre de représentation graphique de ces données. Mais les ordonnées (ou les abscisses suivant la situation) de cette fenêtre varient dans un intervalle [a;b].

La question est de savoir quelle transformation faire subir aux données de l'intervalle [m;M] pour en avoir une représentation fidèle dans l'intervalle [a;b].

Le problème posé est donc simplement un changement d'échelle.

Une question de proportionnalité

La question posée est en fait une question de proportionnalité.

Pour que la représentation soit fidèle aux valeurs de départ, il faut faire en sorte que les écarts entre valeurs initiales et valeurs finales soient proportionnelles.

En d'autres termes, on aura le tableau de proportionnalité suivant :

données initiales	valeurs de représentation
écart entre deux valeurs x2-x1	écart entre deux valeurs x'2-x'1
M-m	b-a

En notant x une donnée (donc dans l'intervalle [m;M]) et x' sa valeur de représentation dans l'intervalle [a;b], on aura donc : \[ \frac{x-m}{M-m} = \frac{x'-a}{b-a} \] ce qui peut aussi s'écrire : \[ x' = \frac{b-a}{M-m} (x-m) + a \]

Un cas usuel

Une situation classique, que vous connaissez bien, correspondant à ce problème est la situation qui consiste à ramener l'intervalle de données [m;M] à l'intervalle [0;100] (pourcentages...).

On cherche à ramener l'intervalle [m;M] à l'intervalle [0;100]. Pour cela, on applique la formule de proportionnalité explicitée ci-dessus.
Notons x une valeur de l'intervalle [m;M] et x' la valeur que l'on va lui associer dans l'intervalle [0;100]. On a : \[ \frac{x-m}{M-m} =\frac{x'-0}{100-0} \] ou encore : \[ x' = 100 \times \frac{x-m}{M-m}\] C'est, bien sûr, une formule que vous avez moult fois rencontrée.

L'intervalle [0;100] est bien sûr arbitraire. On aurait pu en choisir un autre. L'intérêt de fixer ainsi un intervalle de référence est ... d'avoir une référence ! En ramenant systématiquement à cette échelle [0;100], on permet une meilleure intuition des proportions en jeu.

Exemple. La superficie de la France est 643 801 km². La superficie du département de l'Ain est 5 762 km².
Si l'on veut connaître la part (en superficie) du département dans la France, la valeur 0.89% est plus parlante que la simple donnée des superficies (parce qu'on a l'habitude de lire des valeurs dans cet intervalle [0,100]).