Binaire

Écriture binaire d'un entier.

En langage javascript, on peut obtenir l'écriture binaire (ou écriture en base deux) d'un entier avec la fonction toString.

Le code ci-dessous est le code d'une page html dans laquelle on demande l'écriture en binaire de l'entier 3.

<!DOCTYPE html>
<html lang="fr">
    <head>
        <meta charset="utf-8">
        <title> Écriture binaire d'un entier </title>
    </head>
    <body>
        <script>
		let nombreEntier = 3;
        document.write("L' écriture binaire de l'entier " + nombreEntier + " est : " ); 
        document.write( nombreEntier.toString(2) + "." ) ; /* le 2 signifie que l'on veut une écriture en base 2 */
        </script>
    </body>
</html>

Modifiez le nombre 3 en le remplaçant par un autre entier et observez. Vous obtiendrez ainsi l'écriture binaire de quelques entiers naturels. Vous pourrez notamment constater que les écritures binaires obtenues ne s'écrivent qu'avec des 0 et des 1 : c'est la raison pour laquelle cette représentation des entiers est particulièrement bien adaptée aux ordinateurs.

Dans la suite de cette page de cours, nous allons expliquer comment comprendre une écriture binaire.

Que signifient les 0 et les 1 d'une écriture binaire ?

Vous savez interpréter l'écriture décimale (ou écriture en base 10) d'un entier : il s'agit d'une écriture condensée d'une combinaison linéaire de puissances de 10. Les coefficients de cette combinaison linéaire sont les chiffres de la base dix, c'est à dire les entiers entre 0 et 9.

Exemple : 8753 = 8 \( \times \) 10³ + 7\( \times \)10² + 5 \( \times \) 10¹ + 3\( \times \)10⁰.

De façon générale, si le chiffre des unités (en écriture décimale) d'un entier n est b₀, le chiffre des dizaines b₁, le chiffre des centaines b₂ ..., on peut écrire :
n = b₀\( \times \)10⁰ + b₁\( \times \)10¹ + b₂\( \times \)10² +... où chacun des b_i est un chiffre entre 0 et 9.

L'interprétation d'une écriture binaire (ou écriture en base 2) est similaire, mais les chiffres b_i sont 0 ou 1 et il s'agit de puissances de 2 au lieu des puissances de 10.

Exemple. Si l'écriture 1101 est l'écriture binaire d'un entier, on a : 1101= 1\( \times \)2³ + 1\( \times \)2² + 0\( \times \)2¹ + 1\( \times \)2⁰.
On a donc 1101_binaire = 13_décimal.

Notations.

Si nous écrivons 1101, nous ne pouvons pas savoir a priori s'il s'agit d'une écriture binaire ou décimale. Pour distinguer ces situations, nous conviendrons que sans indication l'écriture est une écriture en base 10. Pour l'écriture binaire, nous utiliserons la notation utilisée ci-dessus : 1101_binaire.
Il pourra arriver que, pour clarifier, la base 10 soit aussi parfois explicitée comme dans l'écriture : 1101_binaire= 13_décimal.

Passer de la base 2 à la base 10.

L'explication ci-dessus vous a normalement permis de comprendre que le passage de la base 2 à la base 10 est facile.

Redonnons un exemple :

1010_binaire = \( 0 \times 2^0 + 1\times 2^1 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^3 \).
Nous avons donc 1010_binaire = \( 1\times 2 + 1 \times 8 \) ou encore 1010_binaire = 10_décimal.

Vous pouvez maintenant passer aux exercices avant de lire le cours expliquant comment passer de la base 10 à la base 2.